背景
Einstein方程式の数値シミュレーションの安定性を改善するために，対称双曲型をベースにして，さらに
constraint surfaceへ収束してゆくように人工的な粘性を導入するlambda-systemという考えが
Brodbeck-Frittelli-Huebner-Reulaによって提案されていた [J. Math. Phys. 40 (1999) 909]．
このアイデアは，直ちにAshtekar変数版としてShinkai-Yoneda [PRD 60 (1999) 101502]によって拡張され，
Yoneda-Shinkai [CQG 18 (2001) 441]によって
数値計算成功例も示されている．
このシステムの弱点は，人工的にflowを導入して得られた解が，本来の初期値データの時間発展になっているのか，
という点である．本論文は，lambda-system提案者本人による，その後のfollow upであり，この問いに答えようとしている．
論文内容
ここでは，問題を次の2点に絞る．
(1) nonlinearな状況において，(constraint manifoldに収束してゆくという意味での)
lambda-systemを作ることが数値的に可能か？
(2) lambda-systemによって得られた発展は，解析的に期待される時間発展とどれだけ近いのか？
そして，Friedrich版の対称双曲型Einstein方程式 (conformal field equations: これは
3+1から漸近的にnull foliationになるようなスライスを発展させる方法) を
lambda-system化し，面対称時空に応用した．元のシステムが(2.1)式，lambda-system化したのが
(2.3)式である．lambda-systemにするための付加パラメータはmatrix B, C, D, Eである．
初期値は，constraintを解く．発展は，second-orderスキーム．constraintのノルム (3.4) で誤差を評価する．
また，面対称でもconformal slice approachだと，厳密解(3.6)が存在する（本当かな??）ので，厳密解からのずれのノルム (3.5)
でも誤差を評価する．
付加パラメータスペースは膨大なので，限られた場合にだけテスト．Table 1にあるような場合で，２つの
ノルムを比較した．constraintノルムをlambda-systemによって制御することは可能であるが，厳密解からの
ずれを制御することは難しい．従って，lambda-systemの汎用性には，懐疑的とならざるを得ない．
元のシステムがFriedrich版なので，変数が多い．(2.1)式は21変数 with 14 constraints．
これをlambda-system化すれば，付加parameterが多数に及ぶことは容易に想像がつく．
「ご苦労様」である．ま，Huebnerの立場上，この方向は避けられないものではあるが．(Friedrichの
ポスドクだったから)．
lambda-systemがconstraint normを減少させうることは，すでにYoneda-Shinkaiの数値計算で
示されているので新しいことではない(cite していないのは，いけません)．
この論文の一番考慮すべき点は，厳密解に近づいていくのかどうか，という点である．面対称で重力波を
考えるとき，平面波解は存在するが，同時にasymptotically flatの条件を満たす解は存在しない．
Shinkai-Yoneda
[CQG17 (2000) 4799]に，その事実は解説済みである．ここで用いられた「厳密解」は，本当に計算で
仮定した状況に即した「厳密解」なのか？ 漸近的null面で考えると解が存在するかどうかは，確かめなくては
ならないが，平面波相当の議論を適用するならそれは明らかに間違いである．彼らの図を見ると，lambda-system
を適用しない元のシステムでも厳密解からのずれは，確実に増大している．元とlambda化とを比べても
厳密解からのずれは，どちらも同じオーダーで増大しており，効果があるのかないのか，一概に言えないというのが
本当のところではないか？
彼らは，lambda-system化された発展方程式系を"asymptotically stable"と表現しているが
これは誤解をもたらす．これはBrodbeck et alの記述から改善されていない．(
Shinkai-Yonedaは，常に"asymptotically constrained"と表現している．)
結論部分に
「Kreiss-Huebnerがasymptotically stable成立の十分条件を示した」とだけ記述しているのだが，
どうも，「懐疑的」という結論が先にあり，という感じで議論を進めている点が気になる．
いずれにせよ，「constraint violationの制御と，厳密解からのずれの制御の違い」を認識させる点では
意味のある論文ではあるが，解析方法に疑問が残る論文である．無職となってしまったHuebnerの復活を期待したい．
or
