真貝寿明 reviews:
ブラックホール連星の初期値問題：global approach
reviewed on 2001年6月14日
preprint...
Binary black holes in circular orbits. I. A global spacetime approach
Authors: E. Gourgoulhon, P. Grandclement and S. Bonazzola
gr-qc/0106015
[published as PRD 65, 044020 (2002)]
Binary black holes in circular orbits. II. Numerical mthods and first results
Authors: P. Grandclement, E. Gourgoulhon, and S. Bonazzola
gr-qc/0106016
[published as PRD 65, 044021 (2002)]
背景
BH-BH連星の合体現象は，強力な重力波源となりうるために，重要な数値計算の対象と考えられている．そしてその初期値問題は，古くからある問題であるが，ISCO (inner most stable circular orbit)の存在に関して系統的に調べられ始めたのは最近のことだ．この論文では，lapse, shiftを含めて「初期値」を決めることを提案し，その計算実例を示した．Meudon group得意の分野でもある．
BH-BH連星の初期値問題について軽くおさらいしておく．
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有名な，NCSAグループのブラックホール正面衝突の数値計算の図(Phys.Rev.Lett. 74 (1995) 630)は，momentally staticなMisner解を初期値としたものだった．
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Bowen-York (PRD21(1980)2047)によって提案された，conformal imagingと呼ばれる手法により，non-staticなBH解が既知解を元に得られるようになり，Cook et al (PRD50(1994)5025他)がそれらの数値解を表現した．これは，Einstein-Rosen bridgesによって，漸近的平坦な２つのisometricなsheetが結合されている解である．
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Brandt-Bruegmann (Phys.Rev.Lett. 78 (1997) 3606) は，Bowen-Yorkの手法に似ているがより解くのが簡単なpuncture approachを提案した．上と同様non-static, spin入りの解が表現できるが，isometricなtopologyは，上と異なり，漸近的平坦な3つのsheetがEinstein-Rosen bridgesによって結合されている解である．
最近Baumgarte (PRD62(2000)024018)が初期値系列を求めている．
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以上の解はすべて，conformal flatの仮定が必要であるが，Kerr-Schild解の重ね合わせ，という手法もTexas group(PRD59(1999)024015他)によって提案されている．（ただし，この場合，ブラックホール同士が円運動をしている解とは限らない．）
論文内容
ここでは，circular motionを保証するBHBH初期値系列を求めるために，以下の仮定を行った．
(1) helical Killing vectorの存在．漸近的平坦性．
(2) 「Misner-Lindquest解 x 時間軸」という大域的解の存在．isometryの存在
(3) conformal flatness.
(4) maximal slicing, K=0
そうすると，lapse, shift, conformal factor の5つの成分について得られる楕円型方程式が得られる．[仮定(1)より時間微分を落とし，(1)+(3)よりshiftはminimal distortionの形になる．]，そして，他のmetric 5成分の式は，解かない．(1)+(3)より，ADM mass, 運動量間にvirial 定理に相当する等式が存在することになり，それより，角速度を定義できる．仮定自体は，consisitentであるが，元来Einstein方程式の解がこのような定常解を許さないために，解かない5成分の式のfalling off 振る舞いは当然漸近的平坦性と矛盾する．しかしその点には，目をつむる．
isometryの仮定より，ブラックホールの境界条件は，きちんとつけられ(ここではsyncronizedを仮定)，multi-domain spectral methodにて数値的に解いた．Schwarzschild解を使って，コードの収束性の確認．Kerr解を使って，conformal flatnessとの矛盾が有意に現れることを確認．そして，等質量BHBHの場合の系列を求めた．ただし，NSNSの場合と違って，baryon mass一定，というような条件がつけられない．そこで，virial 関係式から得られる角速度を計算し，角速度を四重極公式にて解釈することで系列を考える．その結果，わずかな差であるが，ISCOの存在が見られた．得られた角速度の値は，これまでの研究から得られている値よりも3PN近似の値に近く，従って，conformal flatnessの仮定は，それほど悪くないと期待される．
評
lapse, shiftを取り入れて初期値系列を求める，という発想はなるほど新しいかもしれないが，結局は，maximal sliceとminimal distortionの仮定をしているにすぎないようだ．もともとEinstein方程式とは矛盾するquasi-circularな解を求めているのだから，解かなかった5成分の方程式に代入して，どれだけずれてしまったか，の議論が必要だけどない．lapse, shiftを取り入れるなら，その自由度で他の系列も作れるはずであり，その可能性についても触れるべきだろう．結果の一つの「conformal flatnessの仮定は，それほど悪くない」は，言い過ぎである．
柴田氏が指摘したことだが，解系列の特定過程が物理的に明らかではない．また，駒場グループが行ったNSNS解系列での硬い星極限の議論(PRD62(2000)104015)と結果が矛盾するそうである．
いずれにせよ，この議論の方向性は悪いものではない．よりさまざまな観点からの研究を刺激することと思われる．
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